Question

18．已知函数$f（x）=\sqrt{x-1}$
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明．

Answer 1

分析 （1）根据二次根式的被开方数大于或等于0，求出f（x）的定义域；
（2）利用单调性的定义即可证明函数f（x）在定义域上为增函数．

解答 解：（1）要使函数$f（x）=\sqrt{x-1}$有意义，需使x≥1，
所以函数$f（x）=\sqrt{x-1}$的定义域为[1，+∞）；
（2）函数$f（x）=\sqrt{x-1}$在定义域[1，+∞）上为增函数，
证明：任取x₁，x₂∈[1，+∞），且△x=x₂-x₁＞0，
则$△y=f（{x_2}）-f（{x_1}）=\sqrt{{x_2}-1}-\sqrt{{x_1}-1}$
=$\frac{{（\sqrt{{x_2}-1}-\sqrt{{x_1}-1}）（\sqrt{{x_2}-1}+\sqrt{{x_1}-1}）}}{{\sqrt{{x_2}-1}+\sqrt{{x_1}-1}}}$
=$\frac{{（x}_{2}-1）-{（x}_{1}-1）}{\sqrt{{x}_{2}-1}+\sqrt{{x}_{1}-1}}$
=$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{\sqrt{{x}_{2}-1}+\sqrt{{x}_{1}-1}}$；
因为x₂-x₁＞0且$\sqrt{{x_2}-1}+\sqrt{{x_1}-1}$＞0，
所以△y=f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．

点评 本题考查了求函数的定义域以及利用定义证明函数的单调性问题，是基础题目．