Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和满足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足an(2bn-1)=1，并记T_n为{b_n}的前n项和，求证：3T_n+1＞log₂（a_n+3），n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）先根据题设求得a₁，进而根据a_n+1=S_n+1-S_n整理得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0求得a_n+1-a_n=3，判断出{a_n}是公差为3，首项为2的等差数列，则数列的通项公式可得．
（2）把（1）中的a_n代入an(2bn-1)=1可求得b_n，进而求得前n项的和T_n，代入到3T_n+1-log₂（a_n+3）中，令f(n)=(

3

2

•

6

5

•…•

3n

3n-1

)3•

2

3n+2

，进而判断出f（n+1）＞f（n），从而推断出3T_n+1-log₂（a_n+3）=log₂f（n）＞0，原式得证．

解答：解：（1）由a1=S1=

1

6

(a1+1)(a1+2)，解得a₁=1或a₁=2，由假设a₁=S₁＞1，因此a₁=2，
又由an+1=Sn+1-Sn=

1

6

(an+1+1)(an+1+2)-

1

6

(an+1)(an+2)，
得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0，
即a_n+1-a_n-3=0或a_n+1=-a_n，因a_n＞0，故a_n+1=-a_n不成立，舍去
因此a_n+1-a_n=3，从而{a_n}是公差为3，首项为2的等差数列，
故{a_n}的通项为a_n=3n-1
证明：由an(2bn-1)=1可解得bn=log2(1+

1

a2

)=log2

3n

3n-1

；
从而Tn=b1+b2+…+bn=log2(

3

2

•

6

5

•…•

3n

3n-1

)
因此3Tn+1-log2(an+3)=log2(

3

2

•

6

5

•…•

3n

3n-1

)3•

2

3n+2

令f(n)=(

3

2

•

6

5

••

3n

3n-1

)3•

2

3n+2

，则

f(n+1)

f(n)

=

3n+2

3n+5

•(

3n+3

3n+2

)3=

(3n+3)3

(3n+5)(3n+2)2

因（3n+3）³-（3n+5）（3n+2）²=9n+7＞0，故f（n+1）＞f（n）
特别地f(n)≥f(1)=

27

20

＞1，从而3T_n+1-log₂（a_n+3）=log₂f（n）＞0
即3T_n+1＞log₂（a_n+3）

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式．涉及了不等式的证明，综合考查了学生对数列知识的灵活运用．