Question

2．在各项均为正数的数列{a_n}中，数列的前n项和为S_n，满足S_n=1-na_n（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）由（1）猜想出数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）分别令n=1，2，3计算a₁，a₂，a₃的值；
（2）验证n=1，假设n=k猜想成立，根据条件和a_k+1=S_k+1-S_k计算a_k+1．

解答 解：（1）n=1时，a₁=1-a₁，∴a₁=$\frac{1}{2}$，
n=2时，$\frac{1}{2}$+a₂=1-2a₂，∴a₂=$\frac{1}{6}$，
n=3时，$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+$a₃=1-3a₃，∴a₃=$\frac{1}{12}$．
（2）猜想${a_n}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}$．
①当n=1时，${a_1}=\frac{1}{2}$，猜想成立；
②假设当n=k时，猜想成立，即${a_k}=\frac{1}{{k（{k+1}）}}$
则当n=k+1时，a_k+1=S_k+1-S_k=1-（k+1）a_k+1-（1-ka_k）
所以（k+2）a_k+1=ka_k，则${a_{k+1}}=\frac{k}{{k（{k+1}）（{k+2}）}}=\frac{1}{{（{k+1}）（{k+2}）}}$
即当n=k+1时猜想也成立．
综合①②可知对于一切n∈N⁸，${a_n}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}$都成立．

点评 本题考查了数列通项公式的求解，数学归纳法，属于中档题．