Question

6．设$f（x）=\frac{2}{{{2^x}+1}}+m，x∈R，m$为常数．
（1）若f（x）为奇函数，求实数m的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并用单调性的定义予以证明；
（3）求f（x）在（-∞，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）法一：由函数f（x）为奇函数，f（0）=0求出m．
法二：利用函数f（x）为奇函数，通过f（-x）=-f（x），化简求解可得m=-1．
（2）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，利用单调性的定义，证明f（x₁）＞f（x₂）即可．
（3）利用函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，求解函数的最小值．

解答 解：（1）法一：由函数f（x）为奇函数，得f（0）=0即m+1=0，
所以m=-1…（4分）
法二：因为函数f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0…（2分）
∴$f（{-x}）+f（x）=（{m+\frac{2}{{{2^{-x}}+1}}}）+（{m+\frac{2}{{{2^x}+1}}}）=2m+（{\frac{2}{{\frac{1}{2^x}+1}}+\frac{2}{{{2^x}+1}}}）$=$2m+（{\frac{{2•{2^x}}}{{1+{2^x}}}+\frac{2}{{{2^x}+1}}}）=2m+\frac{{2•（{{2^x}+1}）}}{{1+{2^x}}}=2m+2=0$，
所以m=-1…（4分）
（2）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂…（5分）
则有$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{m+\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}}）-（{m+\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}}）=\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}=\frac{{2•（{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}）}}{{（{{2^{x_1}}+1}）•（{{2^{x_2}}+1}）}}$…（8分）
∵x₁＜x₂，∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，∴${2^{x_2}}+1＞0$，∴${2^{x_1}}+1＞0$，f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）…（9分）
所以，对任意的实数m，函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数…（10分）
（3）∵函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
∴函数f（x）在（-∞，-1]上为减函数，…（11分）
∴当x=-1时，$f{（x）_{min}}=f（{-1}）=\frac{4}{3}+m$…（12分）

点评 本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的综合应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．