Question

4．若存在正实数x₀使e${\;}^{{x}_{0}}$（x₀-a）＜2（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）成立，则实数a的取值范围是（-2，+∞）．

Answer 1

分析 由求导公式和法则求出f′（x），化简后根据导数的符号判断出f（x）的单调性，对a进行分类讨论，根据函数的单调性求出函数的最小值，由条件和存在性问题列出不等式，求出实数a的取值范围．

解答 解：由题意设f（x）=e^x（x-a）-2，
则f′（x）=e^x（x-a+1），由f′（x）=0得，x=a-1，
当x∈（-∞，a-1）时，f′（x）＜0，则f（x）是减函数，
当x∈（a-1，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）是增函数，
①当a-1≤0时，则a≤1，f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵存在正实数x₀使e${\;}^{{x}_{0}}$（x₀-a）＜2成立，
∴函数的最小值是f（0）=-a-2＜0，解得a＞-2，即-2＜a≤1；
②当a-1＞0时，则a＞1，
f（x）在（0，a-1）是减函数，在（a-1，+∞）上是增函数，
∵存在正实数x₀使e${\;}^{{x}_{0}}$（x₀-a）＜2成立，
∴函数的最小值是f（a-1）=e^a-1（a-1-a）-2＜0，
即-e^a-1-2＜0恒成立，
则a＞1，
综上可得，实数a的取值范围是（-2，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值问题，存在性问题的转化，以及构造函数法，考查分类讨论思想，转化思想．