Question

16．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₆＞S₇＞S₅，则a_n＞0的最大n=6，满足S_kS_k+1＜0的正整数k=12．

Answer 1

分析 依题意a₆=S₆-S₅＞0，a₇=S₇-S₆＜0，a₆+a₇=S₇-S₅＞0，从而得到S₁₂S₁₃＜0，由此能救济出满足S_kS_k+1＜0的正整数k的值．

解答 解：∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₆＞S₇＞S₅，
∴依题意a₆=S₆-S₅＞0，a₇=S₇-S₆＜0，a₆+a₇=S₇-S₅＞0，
∴a_n＞0的最大n=6．
∴${S_{11}}=\frac{{11（{a_1}+{a_{11}}）}}{2}$=11a₆＞0，
${S_{12}}=\frac{{12（{a_1}+{a_{12}}）}}{2}=\frac{{12（{a_6}+{a_7}）}}{2}＞0$，
${S_{13}}=\frac{{13（{a_1}+{a_{13}}）}}{2}=13{a_7}＜0$，
∴S₁₂S₁₃＜0，即满足S_kS_k+1＜0的正整数k=12．
故答案为：6，12．

点评 本题考查等差数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．