Question

（本小题满分12分）已知函数的定义域为，且对任意，都有，当时， 恒成立．

求证：（1）函数是奇函数；

（2）函数在上是减函数．

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：

解题思路：（1）因为要证明奇偶性，需要证明，因而利用赋值法出现上式，关键要利用赋值法求出的值；（2）将写成是变形的关键.

规律总结：抽象函数的奇偶性或单调性的判定，要灵活将所给条件与奇偶性或单调性的定义结合在一起，恰当利用赋值法等进行变形，进而解决问题.

试题解析：（1）由

（2）设，则

函数在上单调递减.

也可用（1）题的结论证明.

考点：抽象函数的奇偶性与单调性.