Question

在平面直角坐标系xOy中，已知C₁：

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数），将C₁上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的

2

和2倍后得到曲线C₂以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（

2

cosθ+sinθ）=4
（1）试写出曲线C₁的极坐标方程与曲线C₂的参数方程；
（2）在曲线C₂上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：

分析：（1）把C₁消去参数化为普通方程为 x²+y²=1，再化为极坐标方程．根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C₂的普通方程，再化为极参数方程．
（2）先求得直线l的直角坐标方程，设点P（

2

cosθ，2sinθ），求得点P到直线的距离为d=

2| 2 sin(θ+ π 4 )-2|

3

，故当sin（θ+

π

4

）=1时，即θ=2kπ+

π

4

，k∈z时，点P到直线l的距离的最小值，从而求得P的坐标以及此最小值

解答：解：（1）把C₁：

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数），消去参数化为普通方程为 x²+y²=1，
故曲线C₁：的极坐标方程为ρ=1．
再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C₂的普通方程为(

x

2

)2+(

y

2

)2=1，即

x2

2

+

y2

4

=1．
故曲线C₂的极参数方程为

x= 2 cosθ y=2sinθ

 （θ为参数）．
（2）直线l：ρ（

2

cosθ+sinθ）=4，即

2

x+y-4=0，设点P（

2

cosθ，2sinθ），
则点P到直线的距离为d=

|2cosθ+2sinθ-4|

2+1

=

2| 2 sin(θ+ π 4 )-2|

3

，
故当sin（θ+

π

4

）=1时，d取得最小值，此时，θ=2kπ+

π

4

，k∈z，点P（1，

2

），
故曲线C₂上有一点P（1，

2

）满足到直线l的距离的最小值为

4 3

3

-

2 6

3

．

点评：本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．