已知函数f(x)=x+alnx.若曲线y=f处的切线过原点.则实数a的值为e．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．已知函数f（x）=x+alnx，若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处的切线过原点，则实数a的值为e．

分析求出f（x）的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得a=e．

解答解：函数f（x）=x+alnx的导数为f′（x）=1+$\frac{a}{x}$，
可得曲线y=f（x）在点（a，f（a））处的切线斜率为1+$\frac{a}{a}$=2，
切点为（a，a+alna），
由两点的斜率可得$\frac{a+alna}{a}$=2，
解得a=e．
故答案为：e．

点评本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用两点的斜率公式，考查运算能力，属于基础题．

练习册系列答案

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（1，$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$），长轴长为2$\sqrt{3}$，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点．O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P在椭圆C上，且$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{BP}$，求直线l的方程．

7．下列命题正确的个数是（　　）
①对于两个分类变量X与Y的随机变量K²的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；
②在相关关系中，若用y₁=c₁e${\;}^{{c}_{2}x}$拟合时的相关指数为R₁²，用y₂=bx+a拟合时的相关指数为R₂²，且R₁²＞R₂²，则y₁的拟合效果好；
③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a-1＞0”发生的概率为$\frac{2}{3}$；
④“x＞-1”是“$\frac{1}{x}$＜-1”的充分不必要条件．

14．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为5．

4．

某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，A，B两点为喷泉，圆心O为AB的中点，其中OA=OB=a米，半径OC=10米，市民可位于水池边缘任意一点C处观赏．
（1）若当∠OBC=$\frac{2π}{3}$时，sin∠BCO=$\frac{1}{3}$，求此时a的值；
（2）设y=CA²+CB²，且CA²+CB²≤232．
（i）试将y表示为a的函数，并求出a的取值范围；
（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点C处观赏喷泉时，观赏角度∠ACB的最大值不小于$\frac{π}{6}$，试求A，B两处喷泉间距离的最小值．

11．从1，2，3，4，5，6中任取三个数，则这三个数构成一个等差数列的概率为（　　）

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{3m}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1（m＞0）的长轴长为2$\sqrt{6}$，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；
（Ⅱ）设动直线l与y轴相交于点B，点A（3，0）关于直线l的对称点P在椭圆C上，求|OB|的最小值．

16．已知π＜α＜$\frac{3π}{2}$且sin（$\frac{3π}{2}$+α）=$\frac{4}{5}$，则tan$\frac{α}{2}$等于（　　）

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