Question

5．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过曲线y=x²-4x+1的最低点，则该双曲线的离心率e的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{15}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{13}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{2}$

Answer 1

分析 求得二次函数的最小值，可得曲线的最低点（2，-3），代入渐近线方程，可得a，b的关系式，由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：y=x²-4x+1=（x-2）²-3，
当x=2时，y的最小值为-3，
即曲线的最低点为（2，-3），
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，
由题意可得-3=-$\frac{2b}{a}$，
即有b=$\frac{3}{2}$a，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用二次函数的最值的求法，考查双曲线的渐近线方程，以及运算能力，属于基础题．