Question

19．已知a，b∈R，直线ax+2y-3=0与直线（a-1）x+by+2=0平行，则a²b的最小值是（　　）

• A． 0
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $-\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 直线ax+2y-3=0与直线（a-1）x+by+2=0平行，可得b≠0，分别化为：y=-$\frac{a}{2}$x+$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{a-1}{b}$x-$\frac{2}{b}$，因此$-\frac{a}{2}=-\frac{a-1}{b}$，$\frac{3}{2}$≠-$\frac{2}{b}$，化简代入利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵直线ax+2y-3=0与直线（a-1）x+by+2=0平行，
∴b≠0，分别化为：y=-$\frac{a}{2}$x+$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{a-1}{b}$x-$\frac{2}{b}$，
∴$-\frac{a}{2}=-\frac{a-1}{b}$，$\frac{3}{2}$≠-$\frac{2}{b}$，
化为：ab=2a-2，b≠-$\frac{4}{3}$．
则a²b=${a}^{2}×\frac{2a-2}{a}$=2a²-2a=2$（a-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{2}$≥$-\frac{1}{2}$，当且仅当a=$\frac{1}{2}$，b=-2时取等号．
∴a²b的最小值是-$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了函数的性质、相互平行的直线的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．