题目内容

已知
a
=(1+cos2x，2cosx)，
b
=(1，sinx)，函数f(x)=
a
•
b
(x∈R)．
（1）求函数f（x）的最小正周期、最大值和最小值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
分析：（1）利用平面向量的数量积的坐标运算与二倍角的正弦可求得f（x）=
2
sin（2x+
π
4
）+1，从而可求函数f（x）的最小正周期、最大值和最小值；
（2）利用正弦函数的单调性，解不等式2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
（k∈Z）及可求得答案．
解答：解：（1）∵f（x）=
a
•
b

=1+cos2x+2sinxcosx
=1+cos2x+sin2x
=
2
sin（2x+
π
4
）+1，
∴函数f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π，
f（x）max=
2
，f（x）min=-
2
．
（2）由2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
（k∈Z）得：
kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
3π
8
，kπ+
π
8
]（k∈Z）．
点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，考查平面向量的数量积的坐标运算，突出考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知
.
a
=（cos
π
4
x，1），
.
b
=（f（x），2sin
π
4
x，1），
.
a
∥
.
b
，数列{an}满足：{a1=
1
2
，an+1=f（an），n∈N*}．
（1）用数学归纳法证明：0＜an＜an+1＜1；
（2）已知an≥
1
2
，证明an+1-
π
4
an＞
4-π
4
；
（3）设Tn是数列{an}的前n项和，试判断Tn与n-3的大小，并说明理由．
已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
（1）求证：
a
+
b
 与
a
-
b
互相垂直；
（2）若k
a
+
b
与
a
-k
b
的长度相等，求β-α的值（k为非零的常数）．
已知|
a
|=1，|
b
|=
2
，且
a
与
b
的夹角为θ．
（1）若
a
∥
b
，求
a
•
b
；
（2）若θ=
π
4
，求|
a
+3
b
|；
（3）若
a
-2
b
与
a
垂直，求cosθ．
已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ）．
（1）若α-β=
7π
6
，求
a
•
b
的值；
（2）若
a
•
b
=
4
5
，α=
π
8
，且α-β∈(-
π
2
，0)，求tan（α+β）的值．
已知
a
=（cos
π
2
，
3
2
-cos
π
2
），
b
=（
3
2
+cos
x
2
，sin
x
2
）且
a
∥
b
．求
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
的值．

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