Question

10．己知 a＞0 且 a≠1，若函数f（x）=log_a（x-1），g（x）=log_a（5-x）．
（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的定义域；
（2）讨论不等式f（x）≥g（x）成立时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）通过讨论a的范围，得到函数f（x）的单调性，解关于x的不等式组即可．

解答 解：（1）h（x）=f（x）-g（x）=log_a（x-1）-log_a（5-x），
根据对数函数的性质得：
$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{5-x＞0}\end{array}\right.$，解得：1＜x＜5，
故函数h（x）的定义域是（1，5）；
（2）若不等式f（x）≥g（x）成立，
则log_a（x-1）≥log_a（5-x），
0＜a＜1时，$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{5-x＞0}\\{x-1≤5-x}\end{array}\right.$，解得：1＜x≤3，
a＞1时，$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{5-x＞0}\\{x-1≥5-x}\end{array}\right.$解得：3≤x＜5．

点评 本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性以及分类讨论思想，是一道基础题．