Question

12．已知点A（-3，4），圆C：（x-1）²+（y-2）²=1，若一光线经过点A并经x轴反射后能经过圆C上的某一点，求入射线与x轴交点的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 求出圆C关于x轴对称圆的方程，设过A的直线方程为y-4=k（x+3），圆心（1，-2）到直线的距离为$\frac{|4k+6|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，求出k的范围，即可求入射线与x轴交点的横坐标的取值范围．

解答 解：圆C：（x-1）²+（y-2）²=1，关于x轴对称圆的方程为（x-1）²+（y+2）²=1，
设过A的直线方程为y-4=k（x+3），即kx-y+3k+4=0，
圆心（1，-2）到直线的距离为$\frac{|4k+6|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，
∴-$\frac{8}{5}$-$\frac{\sqrt{51}}{15}$≤k≤-$\frac{8}{5}$+$\frac{\sqrt{51}}{15}$，
∴$\frac{-24-\sqrt{51}}{35}$≤$\frac{1}{k}$≤$\frac{-24+\sqrt{51}}{35}$，
kx-y+3k+4=0，令y=0，
可得x=-3-$\frac{4}{k}$∈[$\frac{-9-4\sqrt{51}}{35}$，$\frac{-9+4\sqrt{51}}{35}$]．

点评 本题考查求入射线与x轴交点的横坐标的取值范围，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．