Question

6．已知函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且f（1）=2．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）用定义法证明f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入x=1，解方程可得m的值；
（Ⅱ）f（x）=x+$\frac{1}{x}$为奇函数．运用奇函数的定义，注意定义域关于原点对称，f（-x）=-f（x）；
（Ⅲ）运用单调性的定义证明，设值、作差、变形和定符号、下结论等步骤．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且f（1）=2，
可得1+m=2，即有m=1；
（Ⅱ）f（x）=x+$\frac{1}{x}$为奇函数．
理由：定义域为{x|x≠0}关于原点对称．
且f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$=-f（x），
则f（x）为奇函数；
（Ⅲ）证明：设x₁＞x₂＞1，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
由x₁＞x₂＞1，可得x₁x₂＞1，x₁-x₂＞0，1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
可得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
即f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法，考查化简整理的运算能力，属于基础题．