Question

15．已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C₁的极坐标方程为ρ²（3+sin²θ）=12，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t为参数，$α∈（0，\frac{π}{2}）$）．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；
（2）设曲线C₂与曲线C₁的交点为A，B，P（1，0），当$|PA|+|PB|=\frac{7}{2}$时，求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标的关系化简曲线C₁的极坐标方程为普通方程；
（2）对参数方程x，y代入椭圆方程，然后根据直线参数方程的几何意义，设|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，结合韦达定理得到所求．

解答 解：（1）由ρ²（3+sin²θ）=12得$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，该曲线为椭圆．（5分）
（2）将$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$得t²（4-cos²α）+6tcosα-9=0，
由直线参数方程的几何意义，设|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，${t_1}+{t_2}=\frac{-6cosα}{{4-{{cos}^2}α}}$，${t_1}{t_2}=\frac{-9}{{4-{{cos}^2}α}}$，
所以$|PA|+|PB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\frac{12}{{4-{{cos}^2}α}}=\frac{7}{2}$，
从而${cos^2}α=\frac{4}{7}$，由于$α∈（0，\frac{π}{2}）$，所以$cosα=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．（10分）

点评 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．