Question

1．设正实数x，y满足$x＞\frac{1}{2}，y＞1$，不等式$\frac{{4{x^2}}}{y-1}+\frac{y^2}{2x-1}≥m$恒成立，则m的最大值为8．

Answer 1

分析 设y-1=b，2x-1=a，求出x、y的值，代入$\frac{{4x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x-1}$中化简，利用基本不等式求出它的最小值，即可得出m的最大值．

解答 解：设y-1=b，得y=b+1，
令2x-1=a，得x=$\frac{1}{2}$（a+1），则a＞0，b＞0；
那么：$\frac{{4x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x-1}$=$\frac{{（a+1）}^{2}}{b}$+$\frac{{（b+1）}^{2}}{a}$≥2•$\frac{（a+1）（b+1）}{\sqrt{ab}}$
=2•$\frac{ab+（a+b）+1}{\sqrt{ab}}$
=2•（$\sqrt{ab}$+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$+$\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$）≥2•（2$\sqrt{\sqrt{ab}•\frac{1}{\sqrt{ab}}}$+$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$）
=2•（2+2）=8；
当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时取等号；
∴$\frac{{4x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x-1}$的最小值为8，
即m的最大值为8．
故答案为：8．

点评 本题考查了利用基本不等式求函数最值的问题，利用换元法转化求解，多次使用基本不等式是解题的关键，属于中档题．