Question

12．在△ABC中，点D和E分别在边BC和AC上，且BC=3BD，CA=3CE，AD与BE交于点P，若$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BP}$=n$\overrightarrow{BE}$（m，n∈R），则m+n=$\frac{9}{7}$．

Answer 1

分析 可根据条件用向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AE}$表示出向量$\overrightarrow{AP}$：$\overrightarrow{AP}=\frac{2m}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{m}{2}\overrightarrow{AE}$，而三点B，P，E共线，这样便可得出$\frac{2m}{3}+\frac{m}{2}=1$，从而求出m的值，而同理可求出n的值，从而得出m+n的值．

解答 解：根据条件：$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AD}$
=$m（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）$
=$m（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}）$
=$m[\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）]$
=$m（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}）$
∵B，P，E三点共线；
∴$\frac{2m}{3}+\frac{m}{2}=1$；
∴$m=\frac{6}{7}$；
同理求得n=$\frac{3}{7}$；
∴$m+n=\frac{9}{7}$．
故答案为：$\frac{9}{7}$．

点评 本题考查向量加法、减法和数乘的几何意义，以及向量数乘的运算，三点共线的充要条件：$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，且x+y=1．