Question

9．有如下命题：
①x∈（0，+∞）时，sinx＜x恒成立；
②sin$\frac{3}{2}$cos$\frac{3}{2}$＜0；
③sin²x=$\frac{ta{n}^{2}x}{1+ta{n}^{2}x}$；
④f（x）=|sinx|最小正周期是π，
其中正确命题的代号是（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 根据题意，结合三角函数的图象与性质，利用三角恒等变换与同角的三角函数关系，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．

解答 解：对于①，设f（x）=sinx-x，则f′（x）=cosx-1≤0，
所以f（x）是定义域（0，+∞）上的单调减函数，
所以f（x）＜f（0）=0，即sinx＜x；
所以x∈（0，+∞）时，sinx＜x恒成立，命题①正确；
对于②，sin$\frac{3}{2}$cos$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$sin3=$\frac{1}{2}$sin（π-3）＞0，故命题②错误；
对于③，sin²x=$\frac{{sin}^{2}x}{{sin}^{2}x{+cos}^{2}x}$=$\frac{\frac{{sin}^{2}x}{{cos}^{2}x}}{\frac{{sin}^{2}x}{{cos}^{2}x}+1}$=$\frac{ta{n}^{2}x}{1+ta{n}^{2}x}$，故命题③正确；
对于④，根据函数f（x）=|sinx|的图象与性质知，它的最小正周期是π，命题④正确；
综上，正确命题的序号是①③④．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换与同角的三角函数关系应用问题，是基础题目．