Question

长为l（l＜1）的线段AB的两个端点在抛物线y²=x上滑动，则线段AB中点M到y轴距离的最小值是（　　）

• A．

  l

  2

• B．

  l2

  2

• C．

  l

  4

• D．

  l2

  4

Answer 1

分析：设线段AB的两个端点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将两点分别代入抛物线解析式得到y₁²=x₁，y₂²=x₂，由A和B的位置得到y₁y₂＜0，联立两等式表示出y₁y₂，再由抛物线开口向右，得到线段AB中点M到y轴距离，即为M的横坐标，利用线段中点坐标公式表示出M的横坐标，利用基本不等式求出横坐标的最小值，以及此时x₁=x₂，再由线段AB的长为l，由两点的坐标，利用两点间的距离公式列出关系式，将x₁=x₂代入，利用完全平方公式展开后，将y₁²=x₁，y₂²=x₂及表示出的y₁y₂代入，表示出x₁+x₂，代入M的横坐标中，即可表示出线段AB中点M到y轴距离的最小值．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将A和B分别代入抛物线y²=x得：y₁²=x₁，y₂²=x₂，
又y₁y₂＜0，
∴x₁x₂=（y₁y₂）²，即y₁y₂=-

x1x2

，
∵抛物线y²=x开口向右，
∴线段AB中点M到y轴的距离为

x1+x2

2

，
由x₁+x₂≥2

x1x2

，得到当且仅当x₁=x₂时，

x1+x2

2

取得最小值，
∴此时x₁+x₂=2

x1x2

，又线段AB的长为l，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（y₁-y₂）²=l²，
即y₁²+y₂²-2y₁y₂=x₁+x₂+2

x1x2

=2（x₁+x₂）=l²，
∴x₁+x₂=

1

2

l²，
则线段AB中点M到y轴距离的最小值为

x1+x2

2

=

l2

4

．
故选D

点评：此题考查了两点间的距离公式，抛物线的图象与性质，线段中点坐标公式，以及基本不等式的运用，利用了整体代入的思想，其技巧性较强，要求学生掌握知识要全面．