Question

8．在等差数列{a_n}中，a₁+a₂=7，a₃=8．令b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，由$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_2}=7\\{a_3}=8\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_1}+d=7\\{a_1}+2d=8\end{array}\right.$．
解得a₁=2，d=3，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（2）∵${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{3n-1}）[{3（{n+1}）-1}]}}=\frac{1}{{（{3n-1}）（{3n+2}）}}=\frac{1}{3}（{\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}}）$∴${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{3}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{5}}）+\frac{1}{3}（{\frac{1}{5}-\frac{1}{8}}）+…+\frac{1}{3}（{\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}}）$=$\frac{1}{3}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}}）=\frac{n}{{2（{3n+2}）}}$．

点评 本题考查了“裂项求和方法”、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．