Question

12．已知函数 f（x）=2lnx+x²-ax．
（Ⅰ）当a=5时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线y=f（x）图象上的两个相异的点，若直线AB的斜率k＞1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，x₁＜x₂且x₂＞e，若f（x₁）-f（x₂）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=5时，f（x）=2lnx+x²-5x．求导，利用导数的正负求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由题意可知：k=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞1，$\frac{[f（{x}_{2}）-{x}_{2}]-[f（{x}_{1}）-{x}_{1}]}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，构造函数，确定函数的单调性，分离参数，即可求实数a的取值范围；
（Ⅲ）f（x₁）-f（x₂）=（2lnx₁+x₁²-ax₁）-（2lnx₂+x₂²-ax₂）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$-x₁²+2lnx₁²，令x₁²=x，则0＜x＜$\frac{1}{{e}^{2}}$，g（x）=$\frac{1}{x}$-x-2lnx，求导，确定函数的单调性，求最值，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=5时，f（x）=2lnx+x²-5x．求导，
f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-5x+2}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-2）}{x}$，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或0＜x＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜2，
∴f（x）的单调递增区间（0，$\frac{1}{2}$），（2，+∞）；f（x）的单调递减区间（$\frac{1}{2}$，2）；
（Ⅱ）由题意可知：k=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞1，∴$\frac{[f（{x}_{2}）-{x}_{2}]-[f（{x}_{1}）-{x}_{1}]}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，
令g（x）=f（x）-x，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g′（x）=f′（x）-1≥0，
∴$\frac{2{x}^{2}-ax+2}{x}$-1≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴a≤2x+$\frac{2}{x}$-1在（0，+∞）上恒成立，
∵2x+$\frac{2}{x}$≥4，x=1时取等号，
∴a≤3；
（Ⅲ）∵x₁+x₂=$\frac{a}{2}$，x₁x₂=1，∴a=2（x₁+x₂），x₂=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∴f（x₁）-f（x₂）=（2lnx₁+x₁²-ax₁）-（2lnx₂+x₂²-ax₂）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$-x₁²+2lnx₁²，
令x₁²=x，则0＜x＜$\frac{1}{{e}^{2}}$，g（x）=$\frac{1}{x}$-x-2lnx，
∴g′（x）=-$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$＜0，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）上单调递减，
∴g（x）＞g（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=${e}^{2}-\frac{1}{{e}^{2}}$-4，
∴m≤${e}^{2}-\frac{1}{{e}^{2}}$-4．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，正确构造函数，合理求导是关键．