Question

(2006北京，20)在数列中，若是正整数，且，n=3，4，5，…，则称为“绝对差数列”．

(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；

(2)若“绝对差数列”中，，数列满足，n=1，2，3，…，分别判断当n→∞时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；

(3)证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)，，，，，，，，，(答案不唯一)． (2)因为在绝对差数列中，，，所以自第20项开始，该数列是，，，，，，，，…． 即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，所以当n→∞时，的极限不存在． 当n≥20时，．所以． (3)证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项，证明如下： 假设中没有零项，由于，所以对于任意的n，都有，从而 当时，； 当时，， 即的值要么比至少小1，要么比至少小1． 令 n=1，2，3… 则． 由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项，这与(n=1，2，3，…)矛盾．从而必有零项． 若第一次出现的零项为第n项，记，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A， 即． 所以绝对差数列中有无穷多个为零的项．

提示：

剖析：本题主要考查数列、极限以及对新概念的理解能力．