Question

14．若x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），则$\frac{sin2x}{{{{sin}^2}x+4{{cos}^2}x}}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 根据x得出tanx的取值范围，化$\frac{sin2x}{{{{sin}^2}x+4{{cos}^2}x}}$为切函数，利用基本不等式求出它的最大值．

解答 解：当x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）时，tanx∈（1，+∞），
且$\frac{sin2x}{{{{sin}^2}x+4{{cos}^2}x}}$=$\frac{2sinxcosx}{{sin}^{2}x+{4cos}^{2}x}$=$\frac{2tanx}{{tan}^{2}x+4}$=$\frac{2}{tanx+\frac{4}{tanx}}$，
又tanx+$\frac{4}{tanx}$≥2$\sqrt{tanx•\frac{4}{tanx}}$=4，
当且仅当tanx=$\frac{4}{tanx}$，即tanx=2时“=”成立；
∴$\frac{sin2x}{{{{sin}^2}x+4{{cos}^2}x}}$的最大值为$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了三角函数的最值问题，根据二倍角公式与弦化切公式化简函数解析式，是解题的关键．