Question

1．在本次模拟考试的数学试卷中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的，得分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分”，某考生每道题都给出一个答案，该考生已确定有9道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜．
（1）求该考生选择题得60分的概率；
（2）该考生的数学成绩在班内为中等水平，可用该考生的数学选择题的得分作为班级数学选择题的平
均得分，试求班级数学选择题得分的均分．

Answer 1

分析 （1）该考生选择题得60分，12道题必须全做对，在其余的3道题中，有一道题答对的概率为$\frac{1}{2}$，有一道题答对的概率为$\frac{1}{3}$，有一道题答对的概率为$\frac{1}{4}$，由此能求出该考生选择题得60分的概率．
（2）依题意，该考生得分X的可能取值为45，50，55，60，分别求出相应的概率，从而求出均数，由此能求出班级数学选择题得分的均分．

解答 解：（1）该考生选择题得60分，12道题必须全做对，
在其余的3道题中，有一道题答对的概率为$\frac{1}{2}$，有一道题答对的概率为$\frac{1}{3}$，有一道题答对的概率为$\frac{1}{4}$，
∴该考生选择题得60分的概率为：$p=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{24}$．
（2）依题意，该考生得分X的可能取值为45，50，55，60，
P（X=45）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=50）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{11}{24}$，
P（X=60）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{24}$，
P（X=55）=1-$\frac{1}{4}-\frac{11}{24}-\frac{1}{24}$=$\frac{6}{24}$，
∴X的分布列为：

X	45	50	55	60
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{6}{24}$	$\frac{1}{24}$

EX=$45×\frac{1}{4}+50×\frac{11}{24}+55×\frac{6}{24}+60×\frac{1}{24}$=$\frac{605}{12}$，
∵可用该考生的数学选择题的得分作为班级数学选择题的平均得分，
∴班级数学选择题得分的均分为$\frac{605}{12}$分．

点评 本题考查概率的求法，考查班级均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列和数学期望的合理运用．