Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，过点F₁作垂直于x轴的直线交椭圆C于M，N两点，若|MN|=3，且椭圆C上的离心率为$\frac{1}{2}$．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线AB的方程为3x+ty-3=0，且与椭圆C交于A，B两点，证明：$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$是定值．

Answer 1

分析 （I）由椭圆的通径公式，求得2b²=3a，根据离心率公式求得4b²=3a²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）分类，当t=0，求得丨AF₁丨及丨BF₂丨，即可求得$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$的值，当t≠0，转化成y=k（x-1），代入椭圆方程，利用韦达定理及点到直线的距离公式，即可求得$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$的值．

解答 解：（I）由题意可知：椭圆的通径丨MN丨=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3，则2b²=3a，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，则4b²=3a²，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）证明：由（I）可知抛物线的焦点F₁（-1，0），F₂（1，0），
直线AB的方程为3x+ty-3=0，
当t=0，则直线l的方程为：x=1，过椭圆的右焦点，
则丨AF₁丨=$\frac{3}{2}$，丨BF₂丨=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$=$\frac{4}{3}$，
当t≠0，由直线3x+ty-3=0，则直线方程转化成y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}丨{x}_{1}-1丨}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}丨{x}_{2}-1丨}$，
=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$•$\frac{丨{x}_{1}+1丨+丨{x}_{2}-1丨}{丨{x}_{1}{x}_{2}-{（x}_{1}+{x}_{2}）+1丨}$，
由x1，x2必有一个大于1，一个小于1，
∴原式=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$•$\frac{\sqrt{\frac{144（{k}^{2}+1）}{（4{k}^{2}+3）^{2}}}}{丨\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}-\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}+1丨}$，
=$\frac{12}{9}$=$\frac{4}{3}$，
综上可知：$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$是定值$\frac{4}{3}$，．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．