Question

14．已知函数 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+6，x≤2}\\{3+lo{g}_{a}x，x＞2}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）
（1）若a=2，解不等式f（x）≤5；
（2）若函数f（x）的值域是[4，+∞），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=2时，当x≤2时，-x+6≤5；当x＞2时，3+log₂x≤5．由此能求出不等式f（x）＜5的解集．
（2）当x≤2时，f（x）=-x+6≥4，解得x=2时，f（x）=-x+6=4；当x＞2时，f（x）=3+log_ax≥4，得log_ax≥1，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+6，x≤2}\\{3+lo{g}_{a}x，x＞2}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1），
∴a=2时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-x+6，x≤2}\\{3+lo{g}_{2}x，x＞2}\end{array}\right.$，
∵f（x）≤5，
∴当x≤2时，-x+6≤5，解得x≥1，∴1≤x≤2；
当x＞2时，3+log₂x≤5，解得x≤4，∴2＜x≤4．
综上，不等式f（x）＜5的解集为{x|1≤x≤4}．…（7分）
（2）∵函数 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+6，x≤2}\\{3+lo{g}_{a}x，x＞2}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），
∴当x≤2时，f（x）=-x+6≥4，解得x≤2，∴x=2时，f（x）=-x+6=4；
当x＞2时，f（x）=3+log_ax≥4，∴log_ax≥1，
当0＜a＜1时，x≤a，由x＞2，得a≥2，无解；
当a＞1时，x≥a，由x＞2，得a≤2，∴1＜a≤2．
∴实数a的取值范围是（1，2]．…（14分）

点评 本题考查不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的定义、对数的性质及运算法则、不等式性质的合理运用．