Question

9．已知直线l：y=$\frac{1}{2}$x和两定点A（1，1）、B（2，2），在直线l上取一点P，使PA²+PB²最小，试求点P的坐标．

Answer 1

分析 根据点P在直线l上，设出点P的坐标，写出PA²+PB²的表达式，利用二次函数的性质求出它的最小值以及对应的P点的坐标．

解答 解：由点P在直线l：y=$\frac{1}{2}$x上，设点P（a，$\frac{1}{2}$a），a∈R；
又点A（1，1）、B（2，2），
∴PA²+PB²=[（a-1）²+${（\frac{1}{2}a-1）}^{2}$]+[（a-2）²+${（\frac{1}{2}a-2）}^{2}$]=$\frac{5}{2}$a²-9a+10，
当a=-$\frac{-9}{2×\frac{5}{2}}$=$\frac{9}{5}$时，PA²+PB²取得最小值，
此时点P的坐标为（$\frac{9}{5}$，$\frac{9}{10}$）．

点评 本题考查了平面上两点间距离公式的应用问题，也考查了二次函数的最值问题，是基础题目．