Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的焦点恰好使椭圆C的一个焦点．
（1）求椭圆C的方程
（2）过点D（0，3）作直线l与椭圆C交于A，B两点，点N满足$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点，运用离心率公式和a，b，c的关系，求得a，b，得到椭圆方程，
（2）确定四边形OANB为平行四边形，则S_OANB=2S_△OAB，表示出面积，利用基本不等式，即可求得最大值，从而可得直线l的方程．

解答 解：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$⇒$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又∵抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的焦点（$\sqrt{3}，0）$恰好是椭圆C的一个焦点，
∴则c=$\sqrt{3}$，a=2，即有b=1，则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）因为点N满足$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$（O为原点），所以四边形OANB为平行四边形，
当直线l的斜率不存在时显然不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，
直线l与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+24kx+32=0，
由△=24²k²-128（1+4k²）＞0，得k²＞2，
x₁+x₂=-$\frac{24k}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{32}{1+4{k}^{2}}$，由于S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OD|•|x₁-x₂|=$\frac{3}{2}$|x₁-x₂|，
则平行四边形OANB的面积S'=2S_△OAB=3|x₁-x₂|=3$\sqrt{（{x}_{x}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$═3$\sqrt{（\frac{24k}{1+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{128}{1+4{k}^{2}}}=\frac{24\sqrt{{k}^{2}-2}}{1+4{k}^{2}}$，
令k²-2=t，则k²=2+t，（t＞0），即有S'=$\frac{24\sqrt{t}}{1+4（2+t）}=\frac{24}{4\sqrt{t}+\frac{9}{\sqrt{t}}}$
当且仅当4$\sqrt{t}$=$\frac{9}{\sqrt{t}}$，t=$\frac{9}{4}$，即k²=$\frac{17}{4}$，$\frac{\sqrt{17}}{2}$，时，平行四边形OANB面积的最大值为2，

此时直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{17}}{2}$x+3．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，面积的运算，转化思想是关键，属于中档题．