Question

2．已知直角坐标平面O-XY上的动点P到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记P点的轨迹为曲线C，则直线l：2x-3y+4=0与曲线C的交点的个数为（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 设出动点P的坐标，分P的横坐标小于等于0和大于0两种情况讨论，横坐标小于等于0时，明显看出P的轨迹是x轴负半轴，x大于0时直接由题意列式化简整理即可，从而可得结论．

解答 解：设P（x，y），
由P到定点F（1，0）的距离为$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
P到y轴的距离为|x|，
当x≤0时，P的轨迹为y=0（x≤0）；
当x＞0时，又动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，
列出等式：$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$-|x|=1，
化简得y²=4x（x≥0），为焦点为F（1，0）的抛物线．
则动点P的轨迹方程为y²=4x或y=0（x≤0）．
直线l：2x-3y+4=0与曲线C联立，可得y²-6y+8=0或y=0，x=-2，
∴直线l：2x-3y+4=0与曲线C的交点的个数为3个．
故选：D．

点评 本题考查求轨迹方程的方法：直接法，考查联立直线方程和抛物线方程，属于中档题和易错题．