Question

8．等差数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{n}{2}$（3n+5），正项等比数列{b_n}中，b₂=4，b₁b₇=256．
（Ⅰ）求{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n=$\frac{n}{2}$（3n+5）可知，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n+1，验证n=1时的情况即可求得数列{a_n}的通项公式；在正项等比数列{b_n}中，由b₂=4，b₁b₇=${{b}_{4}}^{2}$=256，可求得其公比q=2，从而可得数列{b_n}的通项公式；求{a_n}与{b_n的通项公式；
（Ⅱ）由c_n=a_nb_n=（3n+1）2ⁿ，可知T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=4×2+（3×2+1）×2²+…+（3n+1）2ⁿ，利用错位相减法即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=$\frac{n}{2}$（3n+5），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{2}$（3n+5）-$\frac{（n-1）[3（n-1）+5]}{2}$=3n+1，
当n=1时，a₁=$\frac{1}{2}$（3×1+5）=4也适合上式，
∴a_n=3n+1．
在正项等比数列{b_n}中，b₂=4，b₁b₇=${{b}_{4}}^{2}$=256，
∴b₄=16，
∴其公比q²=$\frac{{b}_{4}}{{b}_{2}}$=4，又q＞0，
∴q=2，
∴b_n=b₂q^n-2-2=4×2^n-2=2ⁿ．
（Ⅱ）∵c_n=a_nb_n=（3n+1）2ⁿ，
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=4×2+（3×2+1）×2²+…+（3n+1）2ⁿ，①
2T_n=4×2²+（3×2+1）×2³+…+[3（n-1）+1）]2ⁿ+（3n+1）2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=4×2+3×2²+…+3×2ⁿ-（3n+1）2ⁿ⁺¹
=3（2+2²+…+2ⁿ）+2-（3n+1）2ⁿ⁺¹
=3×$\frac{2（1{-2}^{n}）}{1-2}$+2-（3n+1）2ⁿ⁺¹
=（3-3n-1）2ⁿ⁺¹-4．
∴T_n=（3n-2）2ⁿ⁺¹+4．

点评 本题考查数列的求和，着重考查递推关系的应用，考查求等差数列与等比数列的通项公式及错位相减法求和，属于中档题．