Question

2．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长都相等，D为棱BC上的-点，在截面ADC₁中，若∠ADC₁=90°，求二面角D-AC₁-C的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系进行求解即可．

解答 解：由已知，直三棱柱的侧面均为正方形，
∵∠ADC₁=90^o，即AD⊥C₁D．又CC₁⊥平面ABC
∴AD⊥CC₁．∴AD⊥侧面BC₁，∴AD⊥BC，
∴D为BC的中点．                                           
过C作CE⊥C₁D于E，
∵平面ADC₁⊥侧面BC₁，
∴CE⊥平面ADC₁．取AC₁的中点F，连结CF，则CF⊥AC₁．
连结EF，则EF⊥AC₁（三垂线定理）
∴∠EFC是二面角D-AC₁-C的平面角．
在Rt△EFC中，sin∠EFC=$\frac{CE}{CF}$．
∵BC=CC₁=a
易求得  CE=$\frac{a}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}a}{5}$，CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．
∴sin∠EFC=$\frac{CE}{CF}=\frac{\frac{a}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴二面角D-AC₁-C的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题主要考查二面角的求解，根据二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．