Question

已知

π

4

＜α＜β＜

π

2

，且sin（α+β）=

4

5

，cos（α-β）=

12

13

．
（1）判断α-β的范围；
（2）用α+β，α-β，表示2α；
（3）求cos2α的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,两角和与差的余弦函数,二倍角的余弦

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）运用不等式的性质：可加性，注意α-β＜0，即可得到；
（2）运用相加即可得到；
（3）分别求出α+β，α-β的范围，运用同角的平方关系，再由两角和的余弦公式，计算即可得到．

解答： 解：（1）由于

π

4

＜α＜β＜

π

2

，则-

π

2

＜-β＜-

π

4

，且α-β＜0，
即有-

π

4

＜α-β＜0；
（2）2α=（α+β）+（α-β）；
（3）由于

π

4

＜α＜β＜

π

2

，则

π

2

＜α+β＜π，
则有cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

1- 16 25

=-

3

5

，
由-

π

4

＜α-β＜0，则sin（α-β）=-

1-( 12 13 )2

=-

5

13

．
则cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]
=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）
=（-

3

5

）×

12

13

-

4

5

×(-

5

13

)=-

16

65

．

点评：本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和两角和的余弦公式，以及角的变换，考查运算能力，属于基础题和易错题．