Question

10．已知函数f（x）=e^x-ax，g（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）若函数f（x）=e^x-ax（a＞0）有且只有一个零点，求实数a的值；
（2）?x₀∈（0，+∞），使不等式f（x₀）+g（x₀）-e^x₀≥0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的最小值是0，求出a的值即可；
（2）问题转化为?x₀∈（0，+∞），使不等式lnx₀-a${{x}_{0}}^{2}$≥0成立，令h（x）=lnx-ax²，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x-ax，f′（x）=e^x-a，
令f′（x）＞0，解得：x＞lna，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜lna，
∴f（x）在（-∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增，
∴f（x）_min=f（lna）=a-alna=0，
解得：a=e；
（2））?x₀∈（0，+∞），使不等式f（x₀）+g（x₀）-e^x₀≥0成立，
即?x₀∈（0，+∞），使不等式lnx₀-a${{x}_{0}}^{2}$≥0成立，
令h（x）=lnx-ax²，（x＞0），h′（x）=$\frac{1-2{ax}^{2}}{x}$，
a≤0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，
故存在x′，使得h（x）＜0在（0，x′）成立，h（x）＞0在（x′，+∞）成立，
a＞0时，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，令h′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，
∴h（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）递增，在（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）递减，
∴h（x）_max=h（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）=$\frac{1}{2}$（ln$\frac{1}{2a}$-1）≥0，
解得：0＜a≤$\frac{1}{2e}$，
综上：a≤$\frac{1}{2e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．