Question

求数列a，2a²，3a³，4a⁴，…，naⁿ，…（a为常数）的前n项和．

Answer 1

若a=0，则S_n=0
若a=1，

n(n+1)

2

则S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

若a≠0且a≠1则S_n=a+2a²+3a³+4a⁴+…+naⁿ
∴aS_n=a²+2 a³+3 a⁴+…+naⁿ⁺¹
∴（1-a） S_n=a+a²+a³+…+aⁿ-naⁿ⁺¹=

a-an+1

1-a

-nan+1
∴S_n=

a-an+1

(1-a)2

-

nan+1

1-a

(a≠1)
若a=0，则S_n=0适合上式
即S_n=

a-an+1

(1-a)2

-

nan+1

1-a

(a≠1)；S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

（a=1）
总上可得，S_n=

a-an+1 (1-a)2 - nan+1 1-a (a≠1)  n(n+1) 2 (a=1)