Question

如图所示，⊙O内切△ABC的边于D、E、F，AB＝AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．求证：

(1)圆心O在直线AD上；

(2)点C是线段GD的中点．

 

Answer 1

（1）见解析 （2）见解析

【解析】证明：(1)∵AB＝AC，AF＝AE，∴CF＝BE．

又∵CF＝CD，BD＝BE，

∴CD＝BD．

∴AD是∠CAB的平分线．

∴内切圆圆心O在直线AD上．

(2)连接DF，由(1)知，DH是⊙O的直径，

∴∠DFH＝90°，

∴∠FDH＋∠FHD＝90°．

由题易知∠G＋∠FHD＝90°，

∴∠FDH＝∠G．

∵⊙O与AC相切于点F，

∴∠AFH＝∠GFC＝∠FDH，

∴∠GFC＝∠G．∴CG＝CF＝CD，

∴点C是线段GD的中点．