Question

20．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{a{{（x-1）}^2}+1，}&{x≥0}\\{{2^{-x}}，}&{x＜0}\end{array}}\right.$
①若f（f（-1））=0，则实数a=-1；
②在①的条件下，若直线y=m与y=f（x）的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是（-∞，0）∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 ①利用分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．
②作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：①由分段函数的表达式得f（-1）=2^-（-1）=2，f（2）=a+1，
则由f（f（-1））=0，得f（2）=a+1=0，得实数a=-1；
②在①的条件下，a=-1，则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x-1）^{2}+1，}&{x≥0}\\{{2}^{-x}，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
作出函数f（x）的图象如图
由图象知当x＜0时，函数f（x）为单调递减函数，且f（x）＞1，
当x≥0时，f（x）≤1，
∴要使直线y=m与y=f（x）的图象有且只有一个交点，则m≥1或m＜0，
即实数m的取值范围是（-∞，0）∪[1，+∞），
故答案为：-1；（-∞，0）∪[1，+∞）

点评 本题主要考查分段函数的表达式的应用，利用代入法以及数形结合是解决本题的关键．难度不大．