Question

7．如图，已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4，侧棱长为8，E、F分别为PB、PC上的动点，求截面△AEF周长的最小值，并求出此时三棱锥P-AEF的体积．

Answer 1

分析 沿棱AB、AC、PA剪开，得到正三棱锥的侧面展开图，在平面图形中，利用平面几何知识可得EF∥BC，再由△ABE∽△PBC，结合相似三角形对应边成比例及平行线截线段成比例定理求得截面△AEF周长的最小值；由△AEF周长取最小值时E，F分别在PB，PC的四等分点处．可得三角形PEF面积与三角形PBC面积的关系，再求出A到侧面PBC的距离，利用等积法可得三棱锥P-AEF的体积．

解答 解：如图，沿棱AB、AC、PA剪开，得到正三棱锥的侧面展开图．

则AA₁的长为△BEF的周长的最小值．
由平面几何知识可证△PAE≌△PA₁F，于是PE=PF，
又PB=PC，故EF∥BC．
∵∠ABE=∠PBC，∠AEB=∠PCB，
∴△ABE∽△PBC，
∴$\frac{AB}{PB}=\frac{EB}{BC}$，
∴BE=2，
AE=A₁F=4，PE=8-2=6．
由EF∥BC，有$\frac{EF}{BC}=\frac{PE}{PB}$，
∴$EF=\frac{3}{4}BC$，
∴AA₁=AE+EF+A₁F=4+3+4=11
∴△AEF周长的最小值是11，此时$PE=PF=\frac{3}{4}PB=6$，即E，F分别在PB，PC的四等分点处．
取BC中点G，连AG、PG，过P作PO⊥AG，垂足为O，则PO⊥平面ABC，
过A作AH⊥PG，垂足为H，则AH⊥平面PBC．
在Rt△PAO中，OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}AB=\frac{4\sqrt{3}}{3}，PO=\sqrt{P{A}^{2}-O{A}^{2}}=\frac{4\sqrt{33}}{3}$，
在Rt△PBG中，PG=$\sqrt{P{B}^{2}-B{G}^{2}}=2\sqrt{15}$，又$AG=2\sqrt{3}$，
由等积原理可得，$AH=\frac{PO•AG}{PG}=\frac{4\sqrt{11}}{\sqrt{15}}$，
由于E、F是PB、PC的四等分点，
∴S_△PEF=$（\frac{3}{4}）^{2}$${S}_{△PBC}=\frac{9\sqrt{15}}{4}$，
∴${V}_{P-AEF}=\frac{1}{3}{S}_{△PEF}•AH$=$\frac{1}{3}×\frac{9\sqrt{15}}{4}×\frac{4\sqrt{11}}{\sqrt{15}}=3\sqrt{11}$．

点评 本题考查棱锥体积的求法，考查了空间几何体中的剪展问题，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．