Question

2．已知f（x）=（$\sqrt{3}$xinωx+cosωx）cosωx-$\frac{1}{2}$，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期为4π．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）锐角三角形ABC中，（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），利用周期公式可求ω，可得函数解析式：f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间．
（2）利用正弦定理化简已知，整理得cosB=$\frac{1}{2}$，进而解得B=$\frac{π}{3}$，利用已知求得范围$\frac{π}{4}$＜$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{12}$，根据正弦函数的性质可求f（A）的取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵f（x）=（$\sqrt{3}$xinωx+cosωx）cosωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx
=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），…（3分）
∵最小正周期为4π，
∴ω=$\frac{2π}{4π}$=$\frac{1}{2}$，可得：f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），…（4分）
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：4kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z…（6分）
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得2sinAcosB=sinA，可得：cosB=$\frac{1}{2}$，解得：B=$\frac{π}{3}$，…（8分）
∵锐角三角形ABC，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，…（10分）
∴$\frac{π}{4}$＜$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{12}$，可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜f（A）＜$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．