题目内容

17．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，底面是边长为1的正方形，高AA1=2．
求：（1）异面直线BD与AB1所成角的余弦值；
（2）若P为C1D1上的任意一点，求四面体P-ABD的体积．

分析 （1）根据异面直线所成角的定义进行求解即可．
（2）根据三棱锥的体积公式进行计算即可．

解答 解：（1）∵BD∥B1D1，AB1=AD1，
∴∠AB1D1（或其补角）为异面直线BD与AB1所成的角，
∵$cos∠A{B_1}{D_1}=\frac{{A{B_1}^2+{B_1}{D_1}^2-A{D_1}^2}}{{2A{B_1}•{B_1}{D_1}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴$异面直线BD与A{B_1}所成的角的余弦值为\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
（2）VP-ABD=$\frac{1}{3}$S△ABD•h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查异面直线所成角的求解以及空间三棱锥的体积的计算，根据相应的定义和公式是解决本题的关键．比较基础．

练习册系列答案
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