Question

9．已知a，b，c为实数，2^a+4^b=2^c，4^a+2^b+1=4^c，则c的最小值为$lo{g}_{2}\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 2^a+4^b=2^c，4^a+2^b+1=4^c，2^a=-4^b+2^c，4^a=-2^b+1+4^c，化为：2×2^c=${4}^{b}+\frac{2}{{2}^{b}}$，令t=2^b＞0，则2×2^c=t²+$\frac{2}{t}$=f（t），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵2^a+4^b=2^c，4^a+2^b+1=4^c，
∴2^a=-4^b+2^c，4^a=-2^b+1+4^c，
∴-2^b+1+4^c=（2^c-4^b）²，
化为：2×2^c=${4}^{b}+\frac{2}{{2}^{b}}$，
令t=2^b＞0，则2×2^c=t²+$\frac{2}{t}$=f（t），
f′（t）=2t-$\frac{2}{{t}^{2}}$=$\frac{2（t-1）（{t}^{2}+t+1）}{{t}^{2}}$，可得t=1时，f（t）取得极小值即最小值3（b=0）．
∴2×2^c≥3，
c≥$lo{g}_{2}\frac{3}{2}$．
∴c的最小值为$lo{g}_{2}\frac{3}{2}$．
故答案为：$lo{g}_{2}\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了指数函数与对数函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．