Question

15．上海世博会中国馆的标志性建筑物的上层框图如图所示，其上下底面是平行的两正方形，上下底面的中心连线垂直于上下底面，且各侧棱均相等，（即为正棱台），经侧量得知2AB=A₁B₁=12，侧棱长为$\sqrt{34}$．
（1）求证AC⊥BB₁；
（2）求二面角D₁-A₁A-B₁的大小．

Answer 1

分析 （1）连结AC、BD，交于点O，连结A₁C₁、B₁D₁，交于P，连结OP，推导出OP⊥AC，AC⊥BD，由此能证明AC⊥BB₁．
（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D₁-A₁A-B₁的大小．

解答 证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结A₁C₁、B₁D₁，交于P，连结OP，
∵上下底面是平行的两正方形，上下底面的中心连线垂直于上下底面，
∴OP⊥AC，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵OP∩BD=O，∴AC⊥平面BDD₁B₁，
∵BB₁?平面BDD₁B₁，∴AC⊥BB₁．
解：（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
A₁（6$\sqrt{2}$，0，4），A（3$\sqrt{2}$，0，0），B₁（0，6$\sqrt{2}$，4），D₁（0，-6$\sqrt{2}$，4），
$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（3$\sqrt{2}$，0，4），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-3$\sqrt{2}，-6\sqrt{2}$，4），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-3$\sqrt{2}$，6$\sqrt{2}$，4），
设平面D₁A₁A的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=3\sqrt{2}x+4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-3\sqrt{2}x-6\sqrt{2}y+4z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$），
设平面A₁AB₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=3\sqrt{2}a+4c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-3\sqrt{2}a+6\sqrt{2}b+4c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，-$\frac{3}{2}$），
设二面角D₁-A₁A-B₁的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{9}{4}}{\frac{25}{4}}$=$\frac{9}{25}$，
∴二面角D₁-A₁A-B₁的大小为arccos$\frac{9}{25}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．