题目内容

已知椭圆 $数学公式$ ，A，F是其左顶点和左焦点，P是圆x²+y²=b²上的动点，若 $数学公式$ ，则此椭圆的离心率是________．

$\text{[math]}$
分析：设F（c，0），由c²=a²-b²可求c，P（x₁，y₁），要使得 $\text{[math]}$ 是常数，则有（x₁+a）²+y₁²=λ[（x₁+c）²+y₁²]比较两边可得c，a的关系，结合椭圆的离心率的范围可求
解答：设F（c，0），c²=a²-b²，A（-a，0），F（-c，0），P（x₁，y₁），使得 $\text{[math]}$ 是常数，
则有（x₁+a）²+y₁²=λ[（c+x₁）²+y₁²]（x，λ是常数）
即b²+2ax₁+a²=λ（b²+2cx₁+c²），
比较两边，b²+a²=λ（b²+c²），a=λc，
故cb²+ca²=a（b²+c²），即ca²-c³+ca²=a³，
即e³-2e+1=0，
∴（e-1）（e²+e-1）=0，
∴e=1或e= $\text{[math]}$
∵0＜e＜1，∴e= $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查椭圆的离心率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为

．
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