Question

15．若f₁（x）=sinx，f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…f_k+1（x）=f_k′（x），则f₂₀₀₇（$\frac{π}{3}$），（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据题意，逐次计算f₁（x）、f₂（x）、f₃（x）、f₄（x）…的值，分析可得f_n+4（x）=f_n（x），由此可得f₂₀₀₇（x）=f₃（x）=-sinx，将x=$\frac{π}{3}$代入计算可得答案．

解答 解：根据题意，f₁（x）=sinx，
则f₂（x）=f₁′（x）=cosx，
f₃（x）=f₂′（x）=-sinx，
f₄（x）=f₃′（x）=-cosx，
f₅（x）=f₄′（x）=sinx，
…
分析可得：f_n+4（x）=f_n（x），
则有f₂₀₀₇（x）=f₃（x）=-sinx，
则f₂₀₀₇（$\frac{π}{3}$）=-sin（$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故选：A．

点评 本题考查导数的计算，关键逐次计算，发现f（x）=sinx的导数变化的规律．