Question

已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).

(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.

(2)求函数f(x)的极值.

Answer 1

【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-.

(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1-(x>0),所以f(1)=1,f′(1)= -1,

所以y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.

(2)由f′(x)=1-=,x>0可知:

①当a≤0时,f′(x)>0,函数f (x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;

②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a;

因为x∈(0, a)时,f′(x)<0,x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,

所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.

综上:当a≤0时,函数f(x)无极值,

当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.