Question

2．设方程e^x+x=a的解为x₁，方程lnx+x=a的解为x₂，则|x₁-x₂|的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． ln2
• D． $\sqrt{2}$ln2

Answer 1

分析 此题要求的虽然是绝对值的最小值，但是通过观察发现两个方程都是非μ常规的我们不会解的方程类型，所以我们换个思路，运用函数的思想来解决方程的有关问题．将方程的解x₁看作是函数y₁=e^x与函数y₀=a-x交点坐标的横坐标值；将方程的解x₂看作是函数y₂=lnx与函数y₀=a-x交点坐标值得横坐标；由于函数y₁，y₂互为反函数，均与直线y₀有交点，所以两个交点关于直线y=x对称，所以x₂=${e}^{{x}_{1}}$，|x₁-x₂|=|${e}^{{x}_{1}}$-x₁|，可看作是函数g（x）=e^x-x的绝对值，此时问题变为求函数绝对值的最小值，又因为其为非常规函数，所以应用导数的方法求解．

解答 解：方程e^x+x=a的解x₁可以看作是函数y₁=e^x与函数y₀=a-x交点坐标的横坐标值；
方程lnx+x=a的解x₂可以看作是函数y₂=lnx与函数y₀=a-x交点坐标的横坐标值；
∵函数y₁，y₂互为反函数，且均与函数y₀有交点，
∴两个交点关于直线y=x对称，∴x₂=${e}^{{x}_{1}}$，
∴|x₁-x₂|=|${e}^{{x}_{1}}$-x₁|，
构造函数g（x）=e^x-x，则丨x₁-x₂丨的最小值可以看作函数丨g（x）丨的最小值；
我们用导数的方法一研究其何时取得最小值；
∴函数g（x）=e^x-x的导数g′（x）=e^x-1，则g′（x）=0的解为x=0；
∴|x₁-x₂|=|${e}^{{x}_{1}}$-x₁|=|g（x）|，故其最小值为1；
故选：A．

点评 这道题充分利用了函数的性质，互逆函数间的对称关系，并利用导数的方法研究函数的最值问题．难点在于将方程的解变成是函数的交点，并采用构造函数的方法研究最值问题．