Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A位椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点，点B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，则椭圆E的离心率等于

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先利用椭圆的对称性和OABC为平行四边形，可以得出B、C两点是关于y轴对称，进而得到BC=OA=a；设B（-

a

2

，y）C（

a

2

，y），从而求出|y|，然后由∠OAB=∠COx=45°，利用tan45°=

2y

a

，求得a=

3

b，最后根据
a²=c²+b²得出离心率．

解答： 解：∵AO是与x轴重合的，且四边形OABC为平行四边形，
∴BC∥OA，
则B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数，
∴B、C两点是关于y轴对称的．
由题知：OA=a
四边形OABC为平行四边形，则BC=OA=a，
可设B（-

a

2

，y）C（

a

2

，y），
代入椭圆方程解得：|y|=

3

2

b，
设D为椭圆的右顶点，由于∠OAB=45°，四边形OABC为平行四边形，
则∠COx=45°，
对C点：tan45°=

3 2 b

a 2

=1，解得a=

3

b，
根据a²=c²+b²
得a²=c²+

1

3

a²，即有c²=

2

3

a²，
e²=

2

3

，即e=

6

3

．
故答案为：

6

3

．

点评：本题考查了椭圆的对称性以及简单性质，由椭圆的对称性求出B、C两点的纵坐标，进而得到a=

3

b是解题的关键，属于中档题．