Question

2．设函数f（x）=$\frac{{{a^{2x}}-（{t-1}）}}{a^x}$（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求t的值；
（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx-x²）+f（x-1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）法1：依题意，由f（0）=0，得t=2；
法2：f（x）是定义域为R的奇函数⇒f（-x）=-f（x），整理得（2-t）（a^x+a^-x）=0对x∈R恒成立，从而可得t=2．
（2）利用奇函数f（x）=a^x-a^-x为R上的增函数，可将f（kx-x²）+f（x-1）＜0对一切x∈R恒成立转化为x²-（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立，再由△＜0即可求得实数k的取值范围．

解答 解：（1）法1：因为f（x）是定义域为R的奇函数所以f（0）=0，得t=2．　
此时f（x）=a^x-a^-x，故f（-x）=a^-x-a^x=-f（x）成立，所以t的值为2．
法2：因为f（x）是定义域为R的奇函数所以f（-x）=-f（x），
即a^-x-（t-1）a^x=-[a^x-（t-1）a^-x]，
所以（2-t）（a^x+a^-x）=0对x∈R恒成立，所以2-t=0，即t=2．
（2）由（1）得f（kx-x²）+f（x-1）＜0，得f（kx-x²）＜-f（x-1），
因为f（x）为奇函数，所以f（kx-x²）＜f（1-x）．
因为a＞1，所以f（x）=a^x-a^-x为R上的增函数．
所以kx-x²＜1-x对一切x∈R恒成立，
即x²-（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立，
故△=（k+1）²-4＜0，解得-3＜k＜1．

点评 本题考查函数恒成立问题，突出考查函数奇偶性与单调性的综合运用，考查等价转化思想，属于中档题．