Question

20．设函数f（x）=lnx+$\frac{k}{x}$，k∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x-2=0垂直，求出k值．
（Ⅱ）试讨论f（x）的单调区间；
（Ⅲ）已知函数f（x）在x=e处取得极小值，不等式f（x）＜$\frac{m}{x}$的解集为P，若M={x|e≤x≤3}，且M∩P≠φ，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出k的值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）问题转化为m＞（xlnx+e）_min，令g（x）=xlnx+e，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由条件得f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$（x＞0），
∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x-2=0垂直，
∴此切线的斜率为0，
即f′（e）=0，有$\frac{1}{e}$-$\frac{k}{{e}^{2}}$=0，得k=e；
（Ⅱ）由f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$（x＞0），
若k≤0，则f'（x）＞0，f（x）单调递增；
若k＞0，当x＞k时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当0＜x＜k时，f'（x）＜0f（x）单调递减；
所以，k≤0时，f（x）的单调递增区间（0，+∞）．
k＞0时，f（x）的单调递增区间（k，+∞），单调递减区间（0，k）．
（Ⅲ）由题可得k=e，
因为M∩P≠∅，所以f（x）＜$\frac{m}{x}$在[e，3]上有解，
即?x∈[e，3]，使f（x）＜$\frac{m}{x}$成立，
即?x∈[e，3]，使 m＞xlnx+e成立，所以m＞（xlnx+e）_min，
令g（x）=xlnx+e，g′（x）=1+lnx＞0，
所以g（x）在[e，3]上单调递增，
g（x）_min=g（e）=2e，
所以m＞2e．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．