Question

4．已知函数g（x）=$\frac{{4}^{x}+n}{{2}^{x}}$是奇函数，f（x）=log₄（4^x+1）-mx是偶函数．
（1）求m+n的值；
（2）设h（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$x，若g（x）＞h[log₄（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由g（x）为定义在R上的奇函数，得g（0）=0，解得n=-1；再根据偶函数满足f（-x）=f（x），比较系数可得m=$\frac{1}{2}$，由此即可得到m+n的值．
（2）由（1）得h（x）=log₄（4^x+1），易得h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2）．而定义在R上的增函数g（x）在x≥1时的最小值为g（1）=$\frac{3}{2}$，从而不等式转化成$\frac{3}{2}$＞log₄（2a+2），由此再结合真数必须大于0，不难解出实数a的取值范围．

解答 解：（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，
∴g（0）=0，即$\frac{1+n}{1}$=0，∴n=-1，…（3分）
∵f（x）=log₄（4^x+1）-mx
∴f（-x）=log₄（4^x+1）-（-m+1）x，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），得-mx=-（-m+1）x恒成立，故m=$\frac{1}{2}$，
综上所述，可得m+n=-$\frac{1}{2}$；…（4分）
（2）∵h（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$x=log₄（4^x+1）-，
∴h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2），…（2分）
又∵g（x）=2^x-2^-x在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x≥1时，g（x）_min=$\frac{3}{2}$（3分）
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{2a+2＜{4}^{\frac{3}{2}}}\\{2a+1＞0}\\{2a+2＞0}\end{array}\right.$，∴$-\frac{1}{2}＜a＜3$
因此，实数a的取值范围是：{a|-$\frac{1}{2}＜a＜3$}．…（3分）

点评 本题给出含有指数和对数形式的函数，在已知奇偶性的情况下求参数m、n的值，并讨论不等式恒成立的问题，着重考查了对数函数图象与性质的综合应用、函数的奇偶性和不等式恒成立等知识点，属于中档题．